Понятие четной и нечетной функции. Как определить четность и нечетность функции?

g ( X 1, X 2, …, X p ) = g ( — X 1, — X 2, …, …, — X p ) для всех X 1, … ., X p ∈ px_, ldots, x_ in mathbb>

Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Функция, заданная формулой y=2x^-3, задав любое значение для независимой переменной x, может вычислить соответствующие значения для зависимой переменной y по этой формуле. Например, если x = 0,5, формула дает соответствующее значение y = 2 \cdot (-0,5)^-3 = 2,5.

При любом значении аргумента x в формуле y=2x^-3 можно вычислить только одно значение соответствующей функции. Функция может быть представлена в виде таблицы:

x −2 −1 0 1 2 3
y −4 −3 −2 −1 0 1

Используя эту таблицу, можно рассчитать, что для значения аргумент а-1, значение функции соответствуе т-3, а для значения x=2, значение y=0 и так далее. Также важно знать, что каждое значение аргумента в таблице соответствует только одному значению функции.

Также можно определить функции с помощью графиков. График используется для определения того, какое значение функции соответствует определенному значению x. Обычно это приблизительное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной, если f(-x)=f(x) для каждого x в области определения. Такая функция симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной, если f(-x)=f(x) для каждого x в области определения. Такая функция симметрична относительно O (0;0).

Функция не является ни четной, ни избыточной и называется функцией общего вида, если она не симметрична относительно оси или принципа.

Рассмотрим следующую функцию для четности:

D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметрией относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^-7 \cdot (-x)^= -3x^+7x^= -(3x^-7x^)= -f(x) .

Поэтому функция f(x)=3x^-7x^ является лишней.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T

eq 0.

График периодической функции с периодом T

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x)>График функции повторяется на любой части оси крайнего угла длины T .

f(x)>0 — это части оси расстояний, соответствующие точкам на графике функции, которые лежат выше оси расстояний.

График функции f(x) с промежутками на которых функция положительна

График функции f(x) с промежутками на которых функция отрицательна

Понятие четной и нечетной функции

0 при (x_; x_) \cup (x_; +\infty )

Четная функция

Наиболее важным требованием для проверки функции на четность/нечетность является то, что ее область определения симметрична относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной и не нуждается в дальнейшем исследовании. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функция \(f(x)\) является четной, если для каждого значения x в функции \(f(x)\) выполняется равенство \(f(-x)=f(x)\).

Осторожно. Если преподаватель обнаружит плагиат в вашей работе, вам не избежать больших проблем (вплоть до исключения из школы). Если вы не

Если взять любую точку \(M(x,\;f(x))\) из определения \(f(x)\), то точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также принадлежит графу, что следует из определения. Из определения следует, что график функции симметричен относительно начала координат.

Нечетная функция

Докажите, что функция \(y=x^2\) является четной.

Нечетная функция

1. Давайте определим область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0.

\(f(x)=f(-x)\) означает, что функция четная.

Исследование функций в примерах

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x^3-7x.\) для четных и нечетных значений.

1. Найдем область определения.

\(f(x)

eq f(-x)\) означает, что функция не является четной.

\(-f(x)=f(-x)\) так что функция является избыточной.

Рассмотрим четные и нечетные функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\).

Рассмотрим первую функцию:

1. определите область определения: x — любое число, кроме 1. Оно не симметрично относительно 0, поэтому \( f_1(x)\) принадлежит к функциям общего вида, т.е. не является ни четным, ни нечетным.

Рассмотрим вторую функцию:

1. Найдем поле: x — любое число, кром е-1 и 1. Оно симметрично относительно 0.

\(f_1(x)=f_1(-x)\) означает, что функция четная.

Функция $y=f(x)$, областью которой является множество $X$, называется функцией общего вида, если она не является ни четной, ни нечетной.

Чтобы понять, что эта функция является функцией общего вида, нужно заменить переменную $x$ на переменную $—x$ в ее аналитическом обозначении, выполнить при необходимости элементарные преобразования и проверить, что условия определений 1 и 2 не выполняются.

Функция общего вида

Общая функция никогда не бывает симметричной относительно оси порядка и начала координат. Пример общей функции показан на рисунке 3.

Исследуйте функцию с точки зрения четности и избыточности и постройте ее графики.

$f\left(-x

Пример задачи

ight)=^2+3=x^2+3=f(x)$\textit

Следовательно, $f(x)$ — четная функция.<>Нарисуйте его на графике:

Давайте построим график:

Давайте построим график:

ight)=+==cosx-sinx$ поэтому $f\left(x

Давайте построим график:

Четно-нечетное разложение

Давайте представим это графически:

Любая функция может быть явно разложена в сумму четной и нечетной функций, называемых соответственно четной и нечетной частями функции.

(уравнение 3)

(уравнение 4)g ( x ) = g e ( x ) + g o ( x ) .(x).>

(x) + f _

g ( X ) = грамм ( X ) + час ( X ) ,>где грамм = g e и час,>и время = g o ,

с сайта2 g e ( X ) = g ( X ) + g ( — X ) = грамм ( X ) + грамм ( — X ) + час ( — X ) = 2 грамма ( X ), 2 g o ( X ) = g ( X ) — g ( — X ) = грамм ( X ) — грамм ( — X ) + час ( — X ) = 2 часа ( X ) .(x) & = f (x) -f (-x) = g (x) -g (-x) + h (x ) -h (-x) = 2h (x). end>>

(x) & = f (x) + f (-x) = g (x) + g (-x) + h (x) + h (-x) = 2g (x), 2f _

Например, гиперболический косинус и гиперболический_>(x)>_>(Икс)>>.

Дополнительные алгебраические свойства

  • Любой линейная комбинация четных функций является четным, а четные функции образуют векторное пространство над реалы. Аналогично, любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. Фактически, векторное пространство все реальные функции прямая сумма из подпространства четных и нечетных функций. Это более абстрактный способ выражения свойства, описанного в предыдущем разделе.
    • Пространство функций можно рассматривать как градуированная алгебра над действительными числами этим свойством, а также некоторыми из перечисленных выше.
    • Четные функции образуют коммутативная алгебра над реалами. Однако нечетные функции нет образуют алгебру над действительными числами, поскольку они не закрыто при умножении.

    Основные аналитические свойства

    • В производная четной функции является нечетной.
    • Производная нечетной функции четная.
    • В интеграл нечетной функции из — А к + А равно нулю (где А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между — А и А ). Для нечетной функции, интегрируемой на симметричном интервале, например − А, А, результат интеграла по этому интервалу равен нулю; то есть 2
    • Интеграл четной функции от — А к + А это удвоенный интеграл от 0 до + А (куда А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между — А и А. Это также верно, когда А бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть

    Серии

    • В Серия Маклорена четной функции включает только четные полномочия.
    • Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
    • В Ряд Фурье из периодический четная функция включает только косинус термины.
    • Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синус термины.
    • В преобразование Фурье чисто вещественной четной функции действительна и четна. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )
    • Преобразование Фурье чисто вещественнозначной нечетной функции бывает мнимым и нечетным. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )

    Гармоники

    (t))>

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий