Равнобедренный треугольник: определение, теорема о свойстве высоты. Что такое равнобедренный треугольник?

Даже если вы не знаете определения, вы наверняка слышали о крысе, которая забегает за угол и разрезает его пополам. Это не заставит вас забыть, что такое биссектриса. А если вы не любите крыс, то с ними может столкнуться каждый. Дихотомус — это кошечка. Дихотомус — это лиса. Для воображения не существует правил. Все правила связаны с геометрией.

Равнобедренный треугольник: определение, теорема о свойстве высоты

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны по длине.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

Равнобедренный треугольник

Признаки равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

  • треугольник является равнобедренным, если два его угла равны;
  • треугольник, в котором высота и медиана, высота и биссектриса, биссектриса и медиана, проведенные к одной стороне, совпадают, является равнобедренным, а эта сторона – основанием.

Свойство первое

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Внимание. Если учитель обнаружит плагиат в вашем сочинении, вам не избежать больших неприятностей (вплоть до исключения из школы). Если вы не можете написать эссе самостоятельно, закажите его здесь.

Первое свойство

Дана равнобедренная фигура ΔABC, где AB = AC. Его основание имеет биссектрису угла AD.

Поскольку AD — биссектриса, угол ∠1 равен углу ∠2. Сторона AD является общей для ΔADB и ΔADC. Поэтому, исходя из первой характеристики, они равны. Тогда верно, что угол ∠B равен углу ∠C.

Свойство второе

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего на основании, является средней и высотой.

Второе свойство

Дана равнобедренная фигура ΔABC, где AB = AC. Его основание имеет биссектрису угла AD.

Поскольку AD — биссектриса, угол ∠1 равен углу ∠2. Сторона AD является общей для ΔADB и ΔADC. Тогда эти треугольники равны первому знаку. Тогда BD = DC. Поэтому AD является медианой.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Поскольку AD — биссектриса угла, угол равен ∠A = 2*∠1.

В ΔACD ∠CDA + ∠1 + ∠2 = 180°, поэтому ∠CDA = 90°.

Затем AD — высота.

Свойство третье

В равнобедренном треугольнике медианы (или высоты и биссектрисы углов), проведенные из вершин к основанию, равны.

Третье свойство

Дана равнобедренная фигура ΔABC с AB = AC.

∠BAT = ∠BCM, так как AT и MC — биссектрисы равных углов. ∠B является общим для ΔABT и ΔCBM; поэтому ΔABT и ΔCBM равны со вторым знаком. Тогда AT = CM.

  Определение параллельных прямых в пространстве. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача

В этой статье мы рассмотрим определение и свойства равнобедренного треугольника. Мы также рассмотрим пример решения для закрепления теоретического материала.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны по длине (называются сторонами). Оставшаяся третья сторона — это основание фигуры.

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны. Это означает, что a = b.

Свойства равнобедренного треугольника (углы при основании)

Если углы при основании треугольника равны, то это равнобедренный треугольник.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, приходящаяся на основание, является одновременно биссектрисой угла и медианной плоскостью, простирающейся до

Свойства равнобедренного треугольника (биссектриса, медиана и высота к основанию)

Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство 3

Пусть AC — основание равнобедренного треугольника. Начертите биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует, что все соответствующие элементы равны, поэтому угол A равен углу C. Осторожно!

Описанная вокруг и вписанная в равнобедренный треугольник окружности

  • O1Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является центром и высотой.2– расположены на одном отрезке;
  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности.

Пример задачи

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике средняя линия, проведенная через основание, является биссектрисой угла и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой угла и медианой.

Свойства равнобедренного треугольника (пример)

Занимайтесь по 15 минут в день. Освоить английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью своей жизни.

Нет ничего приятнее, чем упражняться в нахождении углов и сторон равнобедренного треугольника. Ну… почти ничего.

Публикации по теме:

  • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
  • Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
  • Нахождение площади треугольника: формула и примеры
  • Нахождение площади круга: формула и примеры
  • Нахождение площади ромба: формула и примеры
  • Нахождение площади трапеции: формула и примеры
  • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
  • Нахождение площади эллипса: формула и пример
  • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
  • Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
  • Нахождение периметра треугольника: формула и задачи
  • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
  • Нахождение периметра ромба: формула и задачи
  • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
  • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
  • Нахождение длины окружности: формула и задачи
  • Теорема косинусов для треугольника: формула и задачи
  • Теорема синусов для треугольника: формула и задачи
  • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
  • Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
  • Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
  • Нахождение объема куба: формула и задачи
  • Нахождение объема шара: формула и задачи
  • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
  • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
  • Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
  • Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности вписанного в цилиндр шара
  • Нахождение радиуса шара: формула и примеры
  • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
  • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
  • Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
  • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
  • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
  • Формула Герона для треугольника
  • Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
  • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
  • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
  • Теорема о трех перпендикулярах
  • Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
  • Геометрическая фигура: треугольник
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
  • Определение и свойства медианы треугольника
  • Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
  Ломаная линия. Какая фигура называется ломаной?

Свойства равнобедренного треугольника

Первая проблема. Дано ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с несколькими теоремами, не секрет, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, а треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC.

теорема о углах равнобедренного треугольника

Следовательно, ∠A = ∠C = 80°.

Вас также не должно удивлять, что сумма углов треугольника равна 180°.

  1. Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
  2. Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
  3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Свойства равнобедренного треугольника: теорема 3

∠B = 180° — 80° — 80° = 20°.

  1. Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
  2. Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
  3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Свойства равнобедренного треугольника: теорема 4

Проблема вторая. Найдите высоту BH в треугольнике ABC, угол CAB равен 50°, а угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

  1. Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
  2. Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
  3. Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
  Решение задач на движение. Как найти скорость сближения?

Лучший способ изучить свойства и точки равнобедренного треугольника — брать уроки математики с опытными репетиторами в Skysmart.

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Примеры решения задач

Равнобедренный треугольник — это треугольник с тупым углом на одной стороне и двумя равными сторонами на другой.

Задача на поиск градуса и длины в равнобедренном треугольнике

Такой равнобедренный треугольник трудно воспринимать визуально. Проблема в том, что студенты часто изображают тупоугольные треугольники с одной стороной так, что тупой угол находится при основании.

Однако, когда тупой угол нарисован у основания, фактическое основание тупоугольного равнобедренного треугольника визуально совпадает с боковой стороной. Такой подход очень часто приводит к ошибкам. Поэтому лучше начертить равнобедренный тупоугольный треугольник с тупым углом напротив основания и обозначить сам угол непосредственно на чертеже.

С другой стороны, такой подход не всегда помогает точно воспринимать фигуру как тупоугольный треугольник. По этой причине необходимо подписать углы и при решении доказать или проверить условие доказательства существования тупого угла в треугольнике.

  1. Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
  2. А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
  3. Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Равнобедренный тупоугольный треугольник

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий