Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой. Какой четырехугольник называется трапецией?

Все эти теоремы еще предстоит доказать в школе. Поэтому мы решили не проводить длительных математических и геометрических расчетов. Просто примите это как должное!

Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы решили подробно поговорить о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕ.

Рожица

Она подробно рассматривается на уроках геометрии в 8 классе. И эти уроки являются частью общего знакомства учащихся с различными четырехугольниками.

Определение трапеции

Трапеция — это геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник с двумя противоположными сторонами на параллельных прямых линиях. Две другие стороны, с другой стороны, не должны быть параллельными.

Определение трапеции

Вот как выглядит классическая трапеция:

Фигура

На этом рисунке стороны AB и CD параллельны. Но AD и CB не являются таковыми.

Происхождения слова

Первое упоминание об этой форме встречается в трудах знаменитого древнегреческого математика Евклида.

В его книге «Элементы» этим термином обозначается абсолютно любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом.

Если вы не помните: параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Эта форма в классическом смысле имеет следующий вид:

Четырехугольник

Интересно, что знакомые всем фигуры — квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (что это?) — также являются частным случаем параллелограмма. На самом деле — их противоположные стороны параллельны друг другу.

Параллель

И оказывается, что Евклид был в целом прав. Он разделил все четырехугольники на две большие категории — параллелограммы и трапеции.

Кстати, слово ТРАПЕЦИЯ также греческого происхождения. В древности это звучало как «трапеция». В переводе это означает «обеденный стол». Отсюда же происходит слово «трапеза», которое мы используем как синоним любой еды.

Свойства трапеции

1. средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

  Что такое отрезок. Объясните что такое отрезок?

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает от ее основания (или продолжения) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Отношение площадей этих треугольников равно .

57

4. треугольники и, образованные диагоналями и сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. окружность можно вписать в трапецию, если сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. отрезок, соединяющий центры диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

qk

7. точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и центр оснований лежат на одной прямой.

е

8. если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности

трапеция с углами при основании в сумме 90

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Теорема 8: Площадь трапеции (как и любого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между диагоналями: где (вместо

свойства равнобедренной трапеции

Теорема 9. Если круг можно вписать в трапецию, то (как и для любой окружности) площадь трапеции равна произведению ее полуокружности на радиус поперечной окружности:. таким образом.

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравните эту теорему с теоремой 3).

трапеция вписана в окружность

Найдите высоту трапеции ABCD, которая выпадает из вершины B, если стороны квадратных клеток равны.

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основанию. Начертите высоту от вершины. Если стороны квадратной клетки равны, то из теоремы Пифагора следует, что.

диагонали трапеции перпендикулярны

Площадь

Основания стола равны 18 и 6, сторона, равная 7, образует угол с одним из оснований стола. Найдите площадь стола.

площадь трапеции

Углы ABC и BAH — косые, их сумма равна, и тогда BAH — это

Найдите высоту BH отрезка ABH. Поскольку половина гипотенузы равна отрезку, который находится под углом c, BH = 3,5.

  • Графики тригонометрических функций. Синусоида
  • Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций
  • Площадь ортогональной проекции многоугольника
  • Арифметическая прогресcия. Часть 1
  • Тела вращения. Цилиндр
  • Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем
  Приведение дробей к общему знаменателю. Как привести дробь к общему знаменателю?

Теоремы о площади трапеции

Площадь стола составляет .

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию этой трапеции.

Что вы видите на рисунке? Вы можете сказать, что изображена трапеция ABCD и что у нее есть средняя линия. Но вы также можете увидеть два треугольника, ABC и ACD, с их средними линиями.

Помните, что средняя линия треугольника — это часть, соединяющая центры двух сторон. Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине этой стороны. Из АКД видно, что

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Начертите PQ, среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и. Из этого следует, что центр отрезка AC, PM, является средней линией треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец наименьшего основания, равный 4, пересекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, т.е.

Периметр трапеции равен

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует угол со стороной CD. Определите углы трапеции.

Пусть CAD, тогда CAB и BAD, так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов, таким образом

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, а длина боковой стороны равна 25 м. Определите высоту трапеции.

Нарисуйте высоту

Начертите высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и перпендикуляру (см. Правильный треугольник: свойства, доказательства равенства). Тогда \( \маленький \угольник A = \угольник B. \) Докажите далее, что \( \маленький \угольник ADC = \угольник DCB. \) \( \малый \угол A + \угол ADC=180° \), так как углы A и ADC являются односторонними углами, учитывая, что параллельные прямые AB и CD пересекаются прямой AD (Теорема 3 теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и прямой). Аналогично \( \малый \угол B + \угол DCB=180°. \) Так как \( \малый \угол A= \угол B \), то \( \малый \угол ADC= \угол DCB. \)

  Что называется осевой симметрией. Что такое ось симметрии?

Собственность 2′. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (рисунок 12). У нас есть общая сторона CD и для обоих треугольников AD = CB, \( \маленький \ угол ADC=\ угол DCB. \) Тогда треугольники равны с двумя сторонами и углом между ними. Поэтому диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Собственность 3′. Для равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла к основанию трапеции, делит основание трапеции на части, большая из которых равна половине суммы оснований, а меньшая — половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (рисунок 11). У нас есть:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Так как треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство вывода 1), AM = NB, значит DC = MN:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий