Разложение на простые множители — еще одна операция, которая изучается в начальных классах в рамках этой теории. Можно присвоить любое натуральное число, которое является частью данного выражения, но представлено в другой форме. Для этого необходимо выучить делители чисел. Вы найдете их полезными в конкретном бизнесе.
Теория чисел. Делители и кратные
Базовые знания по естественным наукам преподаются в школе. Математика играет большую роль. Он используется не только в расчетах, но и в программировании.
Эта статья посвящена теории чисел. Эта теория является своего рода «базисом», который помогает детально описать математические действия и операции. Особую роль здесь играют разделители чисел. Если вы их знаете, большинство задач можно выполнить достаточно быстро и точно. Одним из примеров является подсчет дробей и правильное извлечение дробей.
Определение
Делители чисел — это величины, на которые не остается остатка при делении «исходной» части числа. Это обязательное целое число. Пример — 21 имеет два делителя: 3 и 7. Это можно проверить с помощью таблицы умножения, которую изучают на уроках в начальной школе. Других известных фактов о 21 нет. В других случаях при делении получается остаток.
Делители чисел теперь известны. Есть еще одна вещь, которую изучают в раннем возрасте. Он многократный.
Умножение — это ситуация, когда одно значение можно разделить на другое без остатка. Кратное a — это величина, которую можно разделить на a без остатка.
Каждое «число» в математике имеет бесконечное множество кратных. Примером является 5. Они включают: 5, 10, 15, 20, 25, 100, 1005 и так далее. Все они могут быть разделены на 5 без остатка.
Простые и сложные
В начальной школе учителя говорят, что в математике есть простые числа и сложные числа. Вы должны помнить об этом:
- Простые – это натуральное число, которое делится только на себя и единицу.
- Единица не включена в ряд простых.
- Составное число – это непростой элемент в математике. Единица сюда тоже не включена. Имеет несколько делителей. Согласно информации, подаваемой в начальных классах – больше двух.
Если вы спросите себя, сколько делителей имеет простое число, ответ будет однозначным — только два. И найти их — проще простого. Эта информация очевидна из самого определения.
Комплексные числа могут иметь бесконечное число делителей. Невозможно точно сказать, сколько их — все зависит от ситуации. Главное, чтобы их было больше двух.
В программировании довольно легко найти «первое число». Эта операция легко выполняется за O(N), где N — проверяемый элемент. Достаточно проверить, делится ли оно без остатка хотя бы на один элемент цепочки 2, 3, 4, …, N-1. Эта информация не преподается в школьных курсах. Это будет полезно для непосредственных программистов.
Вот пример приложения. Просто отредактируйте этот код с помощью компилятора и посмотрите si
Делимость – признаки
Теперь стоит рассмотреть более сложные варианты. Они также изучаются на уроках в начальной школе и позволяют выяснить, сколько делителей будет у «числа», приведенного в примере. Базовые знания, полученные в начальной школе, включают в себя точки деления на два и пять.
На десятку
Это то, что должны запомнить ученики начальной школы:
- сама на себя;
- на десятку;
- на пятерку.
Все это поможет быстрее находить делитель числа в начальных классах. Но есть и другие признаки делимости. И они также необходимы для того, чтобы найти соответствующие знаки.
Делимость на 5 и 2
Если сумма цифр элемента делится на 3, то весь элемент также делится на «три» без остатка. Пример — 27. Сумма компонентов равна 9. Она делится на 3. Из этого следует, что 27, деленное на 3, не дает остатка.
С делителями числа есть еще один признак делимости. Это 9. Если сумму цифр определенного элемента разделить на «девятку», то целое число также не образует остатка из-за проведенных математических манипуляций. Соответствующий принцип преподается и в младших классах.
- Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
- Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
- Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.
Простое число — это число, которое можно разделить на себя и на единицу без остатка. Другими словами, у него только два делителя. Например, число 5 делится на себя и на единицу без остатка. Следовательно, число 5 является простым числом.
Последовательность простых чисел начинается следующим образом: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Комплексное число — это число, которое имеет два или более делителей. Например, число 4 является составным числом, потому что у него более двух делителей: 1, 2 и 4. Поэтому число 4 является составным числом.
➤ Простые и составные числа
Символы делимости используются для ускорения процесса деления чисел. Вспомните самые популярные из них.
Признак делимости на 2 Каждое четное число делится на 2.
Доказательство делимости на 10 Любое число, оканчивающееся на ноль, делится на 10 без остатка.
➤ Признаки делимости чисел
Признак делимости на 5 Любое число, оканчивающееся на 0 или 5, делится на 5.
Доказательство делимости 3 Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, возьмем число 27. Сумма его цифр равна 9 (2 + 7 = 9). 9 делится на 3, поэтому 27 делится на 3.
- Четным называется число, которое делится без остатка на 2 (например, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и т.д.)
- Нечетным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1 (например, 1, 3, 5, 7, 9 и т.д.)
Доказательство делимости на 9 Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, возьмем число 18. Сумма его цифр равна 9 (1 + 8 = 9). 9 делится на 9, поэтому 18 делится на 9.
Каждое комплексное число можно разложить на простые множители, то есть разделить это число в виде произведения vie
Точки делимости используются для ускорения процесса деления чисел. Существует множество точек делимости и другие интересные алгоритмы, которые значительно ускоряют решение и освобождают вас от лишней бумажной работы. Рассмотрим самые популярные из них.
Делимость с 10
➤ Разложение составного числа на простые множители
Любое число, оканчивающееся на ноль, делится на 10 без остатка. Чтобы получить коэффициент, достаточно отбросить 0 в делителе.
Например: 380 : 10 = 38. Мы просто опустили последний ноль в 380.
| Если у нас есть выражение такого вида, 385 : 10, то мы имеем 38 и 5 в остатке, потому что 380 : 10 = 38, а 5 — это остаток, который не является делимым. | Так, если число оканчивается на 0, оно делится на 10 без остатка. Если оно заканчивается другой цифрой, то оно не делится на 10 без остатка. Остаток равен последней цифре числа. В примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре числа 385, т.е. пяти. |
Признак делимости на 5 и на 2
Признаки делимости чисел
Каждое число, оканчивающееся на ноль, делится на 5 и на 2 без остатка.
Делимость на 5
Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка.
Доказательство делимости на 3
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Возьмем, к примеру, число 27, сумма цифр которого равна 2 + 7 = 9. Известно, что девять делится на 3, поэтому 27 делится на 3:
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Возьмем, к примеру, число 18. Сумма его цифр равна 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, поэтому 18 делится на 9.
Вспомните число 846. сумма цифр равна 8 + 4 + 6 = 18. восемнадцать делится на девять, поэтому 846 делится на 9:
Четное число — это число, которое делится на 2 без остатка. Например, 20 — четное число, потому что оно делится на 2 без остатка:
Нечетное число — это число, при делении которого на 2 остается 1. Например, 21 — нечетное число, потому что при делении на 2 остается 1:
21 : 2 = 10 (1 — остаток).
Как отличить четное число от нечетного без деления на 2? Просто. Четные числа — это 0, 2, 4, 6, 8, а нечетные — 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается на четную цифру, то это четное число. Если число оканчивается на нечетную цифру, то оно нечетное.
Например, 308 — это четное число, потому что оно заканчивается на четную цифру. Число 1024 также является четным, так как оканчивается на четное число.
Числа 305 и 1027 нечетные, потому что оканчиваются на нечетные цифры.
Простое число — это число, которое делится на себя и на число без остатка. Другими словами, у него только два делителя. Например, число 5 делится на себя и на единицу без остатка:
Чётные и нечётные числа
Таким образом, число 5 является простым числом.
Комплексное число — это число, которое имеет более двух делителей. Например, число 4 является комплексным, так как имеет более двух делителей: 4, 2 и 1.
Поэтому число 4 является комплексным числом.
