Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы. Какой треугольник называется равносторонним?

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол более 90 градусов. Два других угла в таком треугольнике острые.

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны одинаковой длины и все углы одинаковой величины (60°).

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны одинаковой длины и все углы одинаковой величины (60°).

Равносторонний треугольник также называют правильным или равносторонним треугольником.

По определению, каждый прямоугольный (равнобедренный) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник является прямоугольным (равносторонним). Другими словами, правильный треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника.

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы_21

Рисунок 1: Равнобедренный треугольник

AB = BC = AC — стороны треугольника, ∠ ABC = ∠ BAC = ∠ AC = 60° — углы треугольника.

Свойства равностороннего треугольника:

1. в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

2. в равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. в равностороннем треугольнике каждая диагональ, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой угла, а высота и равны друг другу.

В равностороннем треугольнике биссектриса угла, проведенная к каждой стороне, является средней линией, а высота и равны друг другу.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная на каждой стороне, является биссектрисой угла, а средняя линия и равны друг другу.

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы_22

Рисунок 2. равнобедренный треугольник

4. в равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы углов, медианы и медианы пересекаются в точке, называемой центром равностороннего треугольника. Он также является центром эндоцикла и перицикла.

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы_23

Рисунок 3. равнобедренный треугольник

R — радиус окружности, r — радиус эндо окружности.

5. радиус окружности равнобедренного треугольника в два раза больше радиуса эндокруга.

6. пересечение высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в соотношении 2:1, измеренном от вершин.

  Сложение и вычитание дробей. Как складывать дроби с разными знаменателями?

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы_22

Рисунок 4. равнобедренный треугольник

AO : OK = BO : OA = CO : OD = 2 : 1

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний (или прямоугольный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны по длине. То есть, AB = BC = AC .

Равносторонний (правильный) треугольник

Примечание: Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник с равными сторонами и углами между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. То есть, a = b = c = 60° .

Равенство углов равностороннего (правильного) треугольника

Свойство 2

Высота равностороннего треугольника равна биссектрисе угла, из которого он образован, среднему и центру.

Высота, медиана и биссектриса равностороннего (правильного) треугольника

CD — медиана, высота и среднее значение AB и биссектриса угла ACB.

  • CD перпендикулярна AB =>∠ADC = ∠BDC = 90°
  • AD = DB
  • ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и средние значения всех сторон пересекаются в одной точке.

Пересечение биссектрис, медиан и высот равностороннего (правильного) треугольника

Свойство 4

Центры акроокружности и окружности совпадают и пересекаются на пересечении медиан, высот, биссектрис углов и центров.

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего (правильного) треугольника окружностей

Свойство 5

Решение Примените формулы, приведенные выше, чтобы найти неизвестные величины:

Радиусы вписанной и описанной вокруг равностороннего (правильного) треугольника окружностей

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r .

Свойство 6

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и перпендикуляров совпадают — это одна и та же точка. Эта точка называется центром треугольника.

Почему? Рассмотрим равносторонний треугольник.

Он равнобедренный независимо от того, какая сторона взята за основание — он равнобедренный со всех сторон, так сказать.

Таким образом, каждая высота в равностороннем треугольнике также является биссектрисой угла, медианой и средним перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике не \(12\) отдельных линий, как в обычном треугольнике, а только три!

Центр равностороннего треугольника — это центр конечной окружности и перикруга, а также пересечение высот и медиан.

Пример задачи

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус перикруга в два раза больше радиуса конечного круга. \(R=2\cdot r\)

  Углы в пространстве. Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?

Теперь должно быть понятно, почему это так.

Высота равностороннего треугольника (пример)Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (пример)Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности (пример)

Публикации по теме:

  • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
  • Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
  • Нахождение площади треугольника: формула и примеры
  • Нахождение площади круга: формула и примеры
  • Нахождение площади ромба: формула и примеры
  • Нахождение площади трапеции: формула и примеры
  • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
  • Нахождение площади эллипса: формула и пример
  • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
  • Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
  • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
  • Нахождение периметра ромба: формула и задачи
  • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
  • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
  • Нахождение длины окружности: формула и задачи
  • Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: формула и задачи
  • Теорема косинусов для треугольника: формула и задачи
  • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
  • Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
  • Нахождение объема конуса: формула и задачи
  • Нахождение объема куба: формула и задачи
  • Нахождение объема шара: формула и задачи
  • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
  • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
  • Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
  • Нахождение объема призмы: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности вписанного в цилиндр шара
  • Нахождение радиуса шара: формула и примеры
  • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
  • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
  • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
  • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
  • Формула Герона для треугольника
  • Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
  • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
  • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
  • Теорема Стюарта: формулировка и пример с решением
  • Теорема о трех перпендикулярах
  • Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
  • Геометрическая фигура: треугольник
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки подобия треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
  • Определение и свойства медианы треугольника
  • Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
  Как найти наименьшее общее кратное, НОК для двух и более чисел. Как найти наименьшее общее кратное?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(^>\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(^>\), значит, каждый по \(^>\)

Рассмотрим рисунок: Точка\(O\) является центром треугольника.

Таким образом, \(OB\) — это радиус окружности (обозначается \(R\)), а \(OK\) — радиус эндоцикла (обозначается \(r\)).

Но точка \(O\) также является пересечением пространств! Напомним, что медианы делятся пересечением в соотношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), т.е. \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются длиной стороны.

Давайте убедимся в этом.

Это уже должно быть понятно:

Мы постоянно работаем над улучшением этого учебника, и вы можете помочь нам. Доступ и неограниченное использование учебника Юклава (более 100 статей по всем темам ЕГЭ и ОГЭ, более 2000 решенных задач, более 20 вебинаров — практических занятий).

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Открыть ответы…

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий