g ( X 1, X 2, …, X p ) = g ( — X 1, — X 2, …, …, — X p ) для всех X 1, … ., X p ∈ p
x_, ldots, x_ in mathbb>
Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции
Функция, заданная формулой y=2x^-3, задав любое значение для независимой переменной x, может вычислить соответствующие значения для зависимой переменной y по этой формуле. Например, если x = 0,5, формула дает соответствующее значение y = 2 \cdot (-0,5)^-3 = 2,5.
При любом значении аргумента x в формуле y=2x^-3 можно вычислить только одно значение соответствующей функции. Функция может быть представлена в виде таблицы:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Используя эту таблицу, можно рассчитать, что для значения аргумент а-1, значение функции соответствуе т-3, а для значения x=2, значение y=0 и так далее. Также важно знать, что каждое значение аргумента в таблице соответствует только одному значению функции.
Также можно определить функции с помощью графиков. График используется для определения того, какое значение функции соответствует определенному значению x. Обычно это приблизительное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной, если f(-x)=f(x) для каждого x в области определения. Такая функция симметрична относительно оси Oy.
Функция является нечетной, если f(-x)=f(x) для каждого x в области определения. Такая функция симметрична относительно O (0;0).
Функция не является ни четной, ни избыточной и называется функцией общего вида, если она не симметрична относительно оси или принципа.
Рассмотрим следующую функцию для четности:
D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметрией относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^-7 \cdot (-x)^= -3x^+7x^= -(3x^-7x^)= -f(x) .
Поэтому функция f(x)=3x^-7x^ является лишней.
Периодическая функция
Функция y=f(x), в области которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T
eq 0.
Промежутки, где функция положительная, то есть f(x)>График функции повторяется на любой части оси крайнего угла длины T .
f(x)>0 — это части оси расстояний, соответствующие точкам на графике функции, которые лежат выше оси расстояний.
Понятие четной и нечетной функции
0 при (x_; x_) \cup (x_; +\infty )
Четная функция
Наиболее важным требованием для проверки функции на четность/нечетность является то, что ее область определения симметрична относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной и не нуждается в дальнейшем исследовании. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
Функция \(f(x)\) является четной, если для каждого значения x в функции \(f(x)\) выполняется равенство \(f(-x)=f(x)\).
Осторожно. Если преподаватель обнаружит плагиат в вашей работе, вам не избежать больших проблем (вплоть до исключения из школы). Если вы не
Если взять любую точку \(M(x,\;f(x))\) из определения \(f(x)\), то точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также принадлежит графу, что следует из определения. Из определения следует, что график функции симметричен относительно начала координат.
Нечетная функция
Докажите, что функция \(y=x^2\) является четной.
1. Давайте определим область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0.
\(f(x)=f(-x)\) означает, что функция четная.
Исследование функций в примерах
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x^3-7x.\) для четных и нечетных значений.
1. Найдем область определения.
\(f(x)
eq f(-x)\) означает, что функция не является четной.
\(-f(x)=f(-x)\) так что функция является избыточной.
Рассмотрим четные и нечетные функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\).
Рассмотрим первую функцию:
1. определите область определения: x — любое число, кроме 1. Оно не симметрично относительно 0, поэтому \( f_1(x)\) принадлежит к функциям общего вида, т.е. не является ни четным, ни нечетным.
Рассмотрим вторую функцию:
1. Найдем поле: x — любое число, кром е-1 и 1. Оно симметрично относительно 0.
\(f_1(x)=f_1(-x)\) означает, что функция четная.
Функция $y=f(x)$, областью которой является множество $X$, называется функцией общего вида, если она не является ни четной, ни нечетной.
Чтобы понять, что эта функция является функцией общего вида, нужно заменить переменную $x$ на переменную $—x$ в ее аналитическом обозначении, выполнить при необходимости элементарные преобразования и проверить, что условия определений 1 и 2 не выполняются.
Функция общего вида
Общая функция никогда не бывает симметричной относительно оси порядка и начала координат. Пример общей функции показан на рисунке 3.
Исследуйте функцию с точки зрения четности и избыточности и постройте ее графики.
$f\left(-x
Пример задачи
ight)=^2+3=x^2+3=f(x)$\textit
Следовательно, $f(x)$ — четная функция.<>Нарисуйте его на графике:
Давайте построим график:
Давайте построим график:
ight)=+==cosx-sinx$ поэтому $f\left(x
Давайте построим график:
Четно-нечетное разложение
Давайте представим это графически:
Любая функция может быть явно разложена в сумму четной и нечетной функций, называемых соответственно четной и нечетной частями функции.
(уравнение 3)
(уравнение 4)
(x) + f _
g ( X ) = грамм ( X ) + час ( X ) ,
с сайта
(x) & = f (x) + f (-x) = g (x) + g (-x) + h (x) + h (-x) = 2g (x), 2f _
Например, гиперболический косинус и гиперболический
Дополнительные алгебраические свойства
- Любой линейная комбинация четных функций является четным, а четные функции образуют векторное пространство над реалы. Аналогично, любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. Фактически, векторное пространство все реальные функции прямая сумма из подпространства четных и нечетных функций. Это более абстрактный способ выражения свойства, описанного в предыдущем разделе.
- Пространство функций можно рассматривать как градуированная алгебра над действительными числами этим свойством, а также некоторыми из перечисленных выше.
- Четные функции образуют коммутативная алгебра над реалами. Однако нечетные функции нет образуют алгебру над действительными числами, поскольку они не закрыто при умножении.
Основные аналитические свойства
- В производная четной функции является нечетной.
- Производная нечетной функции четная.
- В интеграл нечетной функции из — А к + А равно нулю (где А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между — А и А ). Для нечетной функции, интегрируемой на симметричном интервале, например − А, А
, результат интеграла по этому интервалу равен нулю; то есть 2
- Интеграл четной функции от — А к + А это удвоенный интеграл от 0 до + А (куда А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между — А и А. Это также верно, когда А бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть
Серии
- В Серия Маклорена четной функции включает только четные полномочия.
- Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
- В Ряд Фурье из периодический четная функция включает только косинус термины.
- Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синус термины.
- В преобразование Фурье чисто вещественной четной функции действительна и четна. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )
- Преобразование Фурье чисто вещественнозначной нечетной функции бывает мнимым и нечетным. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )
Гармоники
(t))> - Когда функция отклика является четной, результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоидальной волны; 0 ж, 2 ж, 4 ж, 6 ж, …
- В фундаментальный также является нечетной гармоникой, поэтому не будет присутствовать.
- Простой пример — двухполупериодный выпрямитель.
- В 0 ж
Компонент представляет смещение постоянного тока из-за одностороннего характера четно-симметричных передаточных функций.
- Выходной сигнал будет полуволновым. симметричный.
- Простой пример: вырезка в симметричном двухтактный усилитель.
- Простые примеры — однополупериодный выпрямитель и несимметричный усилитель класса А.
