Мы нашли значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Подставляя t’ в (5), получим координаты проекции точки M0на линии L :
Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
Предполагая, что прямоугольная система координат Oxyz закреплена в трехмерном пространстве, и задавая точку a, мы должны найти расстояние от точки A до прямой a.
Мы представляем два способа вычисления расстояния точки от прямой в пространстве. В первом случае расстояние от точки M1до линии a сводится к нахождению расстояния от M1в точку H1где H1— основание перпендикуляра, проведенного из точки M1Во втором случае расстояние от точки на плоскости является высотой параллелограмма.
Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
Поскольку по определению расстояние от M1на линии a — это длина перпендикуляра M1H1определяется, то после определения координат H1мы можем рассчитать требуемое расстояние как расстояние между двумя точками по следующей формуле
Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра из M1на прямой a. Это довольно просто: точка H1— пересечение прямой a с плоскостью, проходящей через точку M1под прямым углом к линии a .
Поэтому алгоритм определения расстояния точки от прямой a в пространстве выглядит следующим образом:
- составляем уравнение плоскости a ;
- определяем координаты H1— Пересечение прямой a с плоскостью
- вычисляем требуемое расстояние от точки М1в строке a с формулой
Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
Поскольку в задаче дана прямая a, мы можем найти вектор направления этой прямой из M3которая лежит на линии a. Имея координаты точек, мы можем вычислить координаты вектора (при необходимости см. статью Координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек). Определите векторы из точки M3и постройте на них параллелограмм. Впишите в этот параллелограмм высоту M1H1. М1H1построенного параллелограмма равно требуемому расстоянию от M1Заметим, что S ) можно определить из векторного произведения векторов по формуле, где, равна длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Поэтому расстояние M1до заданной прямой a может быть найдена из равенства. Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно
- определить направляющий вектор прямой a ( ;
- получить координаты М3который лежит на прямой a, вычислите координаты вектора и получите длину вектора
- вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле
Теперь рассмотрим решение примера. Пример. Найдите расстояние от точки. Решение. Первый способ. Напишите уравнение плоскости M1под прямым углом к данной линии: H1— точку пересечения плоскости, то решите систему линейных уравнений Итак, и. Числа в знаменателе дробей в нормальных уравнениях прямых представляют собой соответствующие координаты ди
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
В нашем случае высота равна расстоянию точки от плоскости d, а сторона прямоугольника равна коэффициенту направляющего вектора s .1Приравняв площади, нетрудно получить формулу для расстояния между точкой и прямой.1Из уравнения прямой линии получаем1— вектор направления линии; M1(3; 1; -1) — точка на прямой.0Приравняв площади, нетрудно получить формулу для расстояния между точкой и прямой.0Из уравнения прямой линии получаем0— вектор направления линии; M0k
Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве
= i ((-1)-2 — (-4)-1) — j (3-2 — (-4)-2) + k (3-1 — (-1)-2) =1Приравняв площади, нетрудно получить формулу для расстояния между точкой и прямой.1Из уравнения прямой линии получаем1— вектор направления линии; M1( x
, y
, z
) и линия L :
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве
| x — 3 | = | y — 1 | = | z + 1 |
| 2 | 1 | 2 |
где q= ( m, p, l ) — вектор направления линии L.
s =<2; 1; 2>Найдите расстояние от точки M1на линии (9) (рис. 2).
| M0M1Алгоритм определения расстояния точки от прямой L включает следующие шаги: | и М | Уравнение плоскости, проходящей через точку M | ( x | = |
| 3 | -1 | -4 | ||
| 2 | 1 | 2 |
, y
d = | M0M1, z
) заключается в следующем:
Расстояние от точки до прямой в пространстве
A ( x — x0Приравняв площади, нетрудно получить формулу для расстояния между точкой и прямой.0Из уравнения прямой линии получаем0— вектор направления линии; M0где n= ( A, B, C ) — вектор нормали плоскости a.
Как показано на рисунке 2, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L, вектор направления q прямой L должен быть коллинеарным с вектором нормали n плоскости α, поэтому достаточно рассматривать вектор направления прямой L как вектор нормали плоскости α. Тогда уравнение плоскости α, представленное уравнением (10), можно записать следующим образом.
m ( x — x0)+ p ( y — y
)+ l ( z — z
- построить плоскость α, проходящую через точку M0и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M1)
- найти расстояние между точками M0m x + p y + l z — m x1.
— p y0Приравняв площади, нетрудно получить формулу для расстояния между точкой и прямой.0Из уравнения прямой линии получаем0— вектор направления линии; M0на линию L, выведите параметрическое уравнение линии (9):
| Подставьте значения x и y в (11):0m ( mt + x’ )+ p ( pt + y’ )+ l ( lt + z’ )- m x0— p y0)=0 | — l |
m 2 t + mx’ + p 2 t + py’ + l 2 t + ly’ — m x
— p y
| — l z0(13)0Мы нашли такое значение t = t’, что координаты x, y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Поэтому, подставив t’ в (12), получим координаты проекции точки M0)=0 |
| на линии L :0где x0= mt’ + x’, y0=0 | = pt’ + y’, z |
= lt’ + z’ .0Затем мы вычисляем расстояние между M
и М
| в соответствии с формулой0где x0= mt’ + x’, y0=0 |
| и линия (9).0где x0= mt’ + x’, y0=0 |
| AB = B — A = ((2-1); (-3-0)) = (1; -3). |
Теперь найдите вектор AC:0на линии L :
Прежде чем применять формулу для нахождения расстояния, можно заранее найти коэффициент векторного произведения AB*AC и111
0m x + p y + l z — m x1
| , |
0
Содержание раздела
- Расстояние между двумя точками онлайн
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Каноническое уравнение прямой на плоскости
- Параметрическое уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках
- Нормальное уравнение прямой
- Отклонение точки от прямой
- Пучок прямых. Уравнение пучка прямых
- Общее уравнение плоскости
- Уравнение плоскости в отрезках
- Нормальное уравнение плоскости
- Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн
- Проекция точки на прямую онлайн
- Расстояние от точки до прямой онлайн
- Расстояние между прямыми на плоскости онлайн
- Расстояние между прямыми в пространстве онлайн
- Точка пересечения прямых на плоскости онлайн
- Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
- Точка пересечения прямой и плоскости онлайн
- Линия пересечения плоскостей онлайн
- Угол между прямыми онлайн
- Угол между прямой и плоскостью онлайн
- Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн
- Уравнение плоскости онлайн
- Проекция точки на плоскость онлайн
- Расстояние от точки до плоскости онлайн
- Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн
- Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн
- Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн
- Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн
- Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн
- Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор
- Угол между плоскостями. Онлайн калькулятор
- Новые калькуляторы
- Инженерный калькулятор онлайн
- Решение треугольников онлайн
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
Решение задачи
