Наименьшее общее кратное или LSD от A и B — это наименьшее число, которое делится на A и B. Это означает, что оно кратно A и B. То есть, она кратна A и B.
Определение наименьшего общего кратного
A b кратно a, если b делится на a без остатка. Это произносится так: «b кратно a». Он обозначается K.
- кратные числа 3 или К(3) : 6, 9, 12,15, 18 и т.д.
- кратные числа 7 или К(7) : 14, 21, 28, 35, 42 и т.д.
Может существовать бесконечное количество кратных чисел.
Общее кратное двух положительных целых чисел — это число, которое является целым и делится на оба.
Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел — это наименьшее число между общими кратными этих чисел. Это называется NOC.
Например, НОК (5, 9) — это наименьшее общее кратное 5 и 9.
Нахождение НОК
Чтобы найти наименьшее общее кратное, вы можете использовать один из следующих двух методов:
Для двух/небольших чисел
Если речь идет о двух числах (или небольших числах), метод нахождения НОК заключается в следующем:
- Записываем в ряд кратные для каждого числа по возрастанию.
- Находим первое совпадение в полученных рядах чисел. Это и есть НОК.
Пример Найдите наименьшее общее кратное чисел 6 и 14.
Решение Кратные 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 и т.д. Кратные 14: 28, 42, 56 и т.д.
Следовательно, НОК (6, 14) = 42.
Для нескольких/больших чисел
Этот метод подходит, когда мы имеем дело с большими числами или когда нам нужно найти НОК для трех или более чисел.
- Сперва раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число нацело (их количество для разных чисел, также, может быть разным). Для удобства начинаем с самого маленького значения и заканчиваем самым большим.
- Среди множителей мЕньшего числа находим тот, который не вошел в состав бОльшего. То же самое проделываем со следующим по возрастанию числом/числами.
- Умножаем бОльшее число на найденные дополнительные множители и получаем НОК.
Пример Мы хотим найти NOC из (12, 28, 32).
Решение Разложите эти числа на простые множители.
Для факторов наименьшего числа (12) в первом числе (32) не хватает цифры 3; для факторов среднего числа (28) не хватает цифры 7.
Следовательно, НОК (12, 28, 32) = 32 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672.
Иные случаи
1. Если одно из чисел, для которого нужно найти наименьшее общее кратное, является целым числом, кратным остальным числам, то это число является НОК.
Например: NOC (20, 40, 80) = 80.
2. НОК взаимно простых чисел является произведением этих чисел, так как они не имеют общих простых факторов.
Например: NOC (3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15.
Публикации по теме:
- Факториал числа
- Показатель степени: определение и свойства
- Таблица логарифмов
- Числа Фибоначчи
- Число Эйлера (e)
- Решение квадратных уравнений
- Определение логарифма, его свойства и график
- Натуральный логарифм числа
- Теорема Виета: для квадратного/кубического уравнения, обратная
- Степени натуральных чисел
- Факториалы натуральных чисел
- Формулы сокращенного умножения
- Свойства корней в степени n
- Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства
- Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства
- Производные логарифмов: формулы и примеры
- Производная функции: правила и формулы дифференцирования
- Нахождение производной степенной функции
- Десятичный логарифм числа
- Основное логарифмическое тождество
- Логарифм произведения (сумма логарифмов)
- Логарифм деления (частного) или разность логарифмов
- Логарифм степени (коэффициент перед логарифмом)
- Логарифм корня (дробный коэффициент перед логарифмом)
- Логарифмическая функция
- Решение логарифмических неравенств
- Квадрат суммы: формула и примеры
- Квадрат разности: формула и примеры
- Разность квадратов: формула и примеры
- Куб суммы: формула и примеры
- Куб разности: формула и примеры
- Сумма кубов: формула и примеры
- Разность кубов: формула и примеры
- Великая теорема Ферма
- Малая теорема Ферма
- Теорема Безу: нахождение остатка от деления многочлена на двучлен
- Обыкновенные (простые) дроби
- Правильные, неправильные и смешанные дроби
- Правила сравнения обыкновенных дробей
- Приведение дробей к общему знаменателю
- Нахождение наибольшего общего делителя
Находим НОК
Наименьшее кратное двух или более коэффициентов — это наименьшее натуральное число, которое полностью делится на все заданные числа.
Существует несколько способов найти такое значение, например, следующий:
- Если числа небольшие, то выпишите в строчку все делящиеся на него. Продолжайте это делать, пока не найдется среди них общее. В записи их обозначают буквой К. Например, для 4 и 3 наименьшим кратным является 12.
- Если это большие или требуется найти кратное для 3 и более значений, то здесь следует воспользоваться другой методикой, предполагающей разложение чисел на простые множители. Сначала раскладываете наибольшее из указанных, затем все остальные. Каждое из них имеет свое количество множителей. В качестве примера разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). У меньшего из них подчеркните множители и добавьте к наибольшему. В результате получится 100, которое и будет наименьшим общим кратным для вышеописанных чисел.
- При нахождении 3 чисел (16, 24 и 36) принципы такие же, как и для двух других. Разложим же каждое из них: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Не вошли в разложение наибольшего только две двойки из разложения числа 16. Добавляем их и получаем 144, которое и является наименьшим результатом для указанных ранее численных значений.
Теперь мы знаем общую методику нахождения наименьшего значения для двух, трех или более значений. Но есть и специальные методы, которые помогают найти NAP, если предыдущие не помогают.
Как найти NOD и NOC.
Частные способы нахождения
Как и в любой математической задаче, существуют специальные случаи нахождения НОД, которые полезны в определенных ситуациях:
- если одно из чисел делится на другие без остатка, то самое невысокое кратное этих чисел равно ему (НОК 60 и 15 равно 15);
- взаимно простые числа не имеют общих простых делителей. Их самое небольшое значение равно произведению этих чисел. Таким образом, для чисел 7 и 8 таковым будет 56;
- это же правило работает и для остальных случаев, включая специальные, о которых можно прочитать в специализированной литературе. Сюда же следует отнести и случаи разложения составных чисел, которые являются темой отдельных статей и даже кандидатских диссертаций.
Особые случаи встречаются реже, чем типичные примеры. Но они позволяют научиться работать с дробями разной сложности. Это особенно верно для дробей с неравными знаменателями.
Немного примеров
Давайте рассмотрим несколько примеров, которые помогут вам найти наименьшее кратное:
- Находим НОК (35; 40). Раскладываем сначала 35 = 5*7, затем 40 = 5*8. Добавляем к наименьшему цифру 8 и получаем НОК 280.
- НОК (45; 54). Раскладываем каждое из них: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавляем к 45 цифру 6. Получаем НОК, равный 270.
- Ну и последний пример. Есть 5 и 4. Простых кратных для них не имеется, поэтому наименьшее общее кратное в этом случае будет их произведение, равное 20.
Примеры помогут вам понять, как найти NOC, нюансы и важность этих манипуляций.
Найти НОК гораздо проще, чем кажется на первый взгляд. Используется как простое разложение, так и умножение простых значений вместе. Умение работать с этой частью математики поможет при дальнейшем изучении математических тем, особенно дробей различной сложности.
Не забывайте регулярно решать примеры, используя различные методы; это поможет вам развить логику и запомнить многие понятия. Когда вы изучите методы определения такой экспоненты, вы сможете хорошо работать с другими разделами математики. Успехов вам в изучении математики!
