Объяснение аналогично доказано для DABC и DADC. Они равны по трем сторонам (AD = DC и AB = BC, а также по общей стороне BD) и являются равнобедренными, что следует из свойств сторон ромба. Диагональ m1 проходит через эти D. Они также являются медианой, биссектрисой и высотой. Теорема полностью доказана.
Ромб
Определение 1. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD .
Определение 2: Ромб — это четырехугольник, все стороны которого равны.
Ромб делит плоскость на две части — внутреннюю область ромба и внешнюю область ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называется ромбом.
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, он обладает следующими свойствами:
- 1. У ромба противолежащие углы равны (\( \small \angle A = \angle C, \; \angle B = \angle D.\) )
- 2. У ромба противолежащие стороны равны (\( \small AB = DC, \; BC=AD.\) )
- 3. У ромба противолежащие стороны параллельны \( \small( AB \ || \ DC, \; BC \ || \ AD).\)
- 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° \( \small ( \angle A +\angle B=180°, \) \( \small \angle C + \angle D=180°).\)
- 5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам \( \small ( AO = OC, \) \( \small BO=OD).\)
Ромб также обладает следующими свойствами:
- 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (\( \small AC \perp BD.\) )
- 7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (\( \small \angle ABD = \angle CBD, \) \( \small \angle ADB = \angle CDB, \) \( \small \angle DAC = \angle BAC, \) \( \small \angle BCA = \angle DCA. \))
- 8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
- 9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре \( \small (AC^2+BD^2=4AB^2). \)
Мы докажем свойства 6 и 7, установив следующую теорему:
Теорема 1: Диагонали ромба являются перпендикулярами и биссектрисами его углов.
Доказательство. Согласно определению 1, \( \малый AD = DC \) (рис. 2). Следовательно, треугольник \( \small DAC \) равнобедренный. Тогда \( \small DCO = \угол DAO. \) Учитывая, что \( \small AO = OC \) (свойство 5 ромба), имеем, что треугольники \( \small DOA \) и \( \small DOC \) равны по двум сторонам и под углом друг к другу (см. статью Треугольники. Равные точки треугольников). Тогда углы DOC и DOA равны. Однако эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°. Значит \( \маленький \угол DOC= \угол DOA=90°. \) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу.
Из равенства треугольников \( \small DOA \) и \( \small DOC \) также следует, что \( \small \angle CDO= \angle ADO,\) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD .
Признаки ромба
Доказательство 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм — ромб.
Доказательство. Предположим, что смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть, мы имеем AB=BC (рисунок 3). Параллелограмм имеет равные противоположные стороны (свойство 1 параллелограмма). Затем DC=AB=BC=AD. То есть, все стороны параллелограмма равны, и по определению 1 этот параллелограмм является ромбом.
Доказательство 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, то этот параллелограмм является ромбом.
Доказательство. Предположим, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны друг другу (рис. 3). Рассмотрим правильные треугольники AOB и COB. Поскольку диагонали параллелограмма делятся на две половины точкой пересечения (свойство 2 параллелограмма), AO=OC. Тогда правильные треугольники AOB и COB равны двум щупам ( AO=OC, BO — общий щуп (см. статью Правильный треугольник. Свойства, точки равенства). Поэтому AB=BC, и этот прямоугольник является ромбом согласно доказательству 1.
Доказательство 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, то этот параллелограмм — ромб.
Доказательство. Предположим, что диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (рис. 4), тогда параллелограмм ABCD имеет \( \small AB \| \| DC. \) Тогда для параллельных прямых AB и DC и прямой AC выполняется равенство \( \small \угол 1= \угол 4 .\) (см. Теорему 1 из Теоремы для углов, образованных двумя параллельными прямыми и пересечением прямых). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и прямой AC справедливо равенство \( \малый \угольник 2= \угольник 3 .\) Так как \( \малый \угольник 1= \угольник 2, \) то \( \малый \угольник 1= \угольник 2= \угольник 3= \угольник 4. {Из \( \малого \угольника 1= \угольника 3\) следует, что треугольник ABC — равнобедренный (доказательство 2 из статьи о равнобедренном треугольнике). Тогда AB=BC. Параллелограмм имеет равные противоположные стороны (свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA, т.е. все стороны параллелограмма равны, и согласно определению 1 этот параллелограмм является ромбом.
Доказательство 4. Если стороны четырехугольника равны, то четырехугольник является ромбом.
Доказательство. Предположим, что все стороны четырехугольника равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (доказательство 2 параллелограмма). Согласно определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Содержание раздела
- Точка (геометрия)
- Прямая
- Луч (геометрия)
- Угол
- Отрезок
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Ломаная
- Пропорциональные отрезки
- Аксиома параллельных прямых
- Смежные углы. Свойства смежных углов
- Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов
- Перпендикулярные прямые
- Перпендикуляр к прямой
- Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
- Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
- Биссектриса угла. Свойства
- Теорема Пифагора онлайн
- Теорема, обратная теореме Пифагора
- Теорема Фалеса. Доказательство
- Треугольники. Признаки равенства треугольников
- Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников
- Биссектриса треугольника онлайн
- Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
- Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство
- Высота треугольника онлайн
- Теорема Стюарта. Доказательство
- Теорема синусов. Доказательство
- Теорема косинусов. Доказательство
- Решение треугольников онлайн
- Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор
- Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор
- Сумма углов треугольника
- Внешний угол треугольника
- Виды треугольников
- Соотношения между сторонами и углами треугольника
- Неравенство треугольника
- Средняя линия треугольника
- Теорема Менелая
- Окружность, описанная около треугольника
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- Окружность, вписанная в треугольник
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
- Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
- Окружность и круг. Онлайн калькулятор
- Взаимное расположение прямой и окружности
- Касательная к окружности
- Центральный угол окружности. Градусная мера дуги окружности
- Вписанный угол окружности
- Квадрат. Онлайн калькулятор
- Прямоугольник. Онлайн калькулятор
- Параллелограмм
- Ромб
- Сторона ромба онлайн
- Высота ромба онлайн
- Площадь ромба онлайн
- Диагонали ромба онлайн
- Трапеция. Определение, виды, свойства
- Четырехугольник
- Четырехугольник, вписанный в окружность
- Окружность, вписанная в четырехугольник
- Многоугольник
- Площадь треугольника онлайн
- Площадь прямоугольного треугольника онлайн
- Площадь равностороннего треугольника онлайн
- Площадь равнобедренного треугольника онлайн
- Площадь квадрата онлайн
- Площадь прямоугольника онлайн
Свойства ромба.
1. Ромб является параллелограммом, т.е. его противоположные стороны имеют одинаковую длину и попарно параллельны, AB || CD, AD || BC.
2. угол пересечения диагоналей ромба — прямая линия (AC ⊥ BD), а точка пересечения делится на две равные части. То есть диагонали делят ромб на 4 треугольника — прямоугольник.
4. сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре (вывод из тождества параллелограмма).
Признаки ромба.
Параллелограмм ABCD называется ромбом только в том случае, если выполняется хотя бы одно из условий:
1. две соседние стороны имеют одинаковую длину (т.е. все стороны ромба имеют одинаковую длину, AB=BC=CD=AD).
2. угол пересечения диагоналей равен ( AC ⊥ BD ).
3. диагонали 1 к 1 делят содержащиеся в них углы на две половины.
Предположим, что мы не знаем заранее, что четырехугольник является параллелограммом, но знаем, что все стороны равны. Следовательно, четырехугольник является ромбом.
Симметрия ромба.
Ромб симметричен относительно всех диагоналей и часто используется в декоре и паркетах.
Периметр геометрической фигуры — это общая длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет те же размеры, что и длина.
Периметр ромба равен сумме четырех его сторон или произведению длины любой стороны на 4 (так как все стороны ромба равны).
P — периметр ромба,
a — длина одной стороны ромба.
