Примеры разложения многочленов на множители. Как разложить на множители?
Просмотров138Опубликовано
Это можно сделать, например, с переменными, такими как \( x\) и \( y\) или с числами: \( 6\текст<>+\text<>8\text<>=\text<>2\текст( 3\текст<>+\text<>4
5 способов разложения многочлена на множители
ight)\).
Чтобы сделать вашу жизнь проще! Как только вы это сделаете, выражение станет намного проще, и вы сможете легко его «редактировать»!
Это как разбить большую, сложную проблему на множество маленьких, простых проблем, а затем решать каждую маленькую проблему по очереди.
Как научиться это делать?
Читайте эту статью. Сначала мы разберем значение всех этих «сложных» слов.
Затем мы объясним все пять способов разложения многочлена на множители.
А затем мы покажем вам на примерах, как это сделать.
Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:
вынесение общего множителя за скобки;
использование формул сокращенного умножения;
метод группировки;
метод выделения полного квадрата;
разложение квадратного трехчлена на множители.
Одночлены
Давайте сразу окунемся 🙂 .
Мономиал может состоять из чисел, переменных, произведений чисел и переменных, а также переменных в степенях (если вы забыли, что такое степень, смотрите раздел «Степени и их свойства»).
Многочлены
Все они являются мономерами. Вы можете видеть, что у них нет знаков «+» или «-«, как будто не существует других терминов.
Множители
Многочлен — это выражение, которое является суммой (или разностью) многих одночленов разных видов:
Хорошо, давайте по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «мультипликатор» происходит от слова «умножать».
Например, если взять число \( 12\), то его разложение на множители означает, что оно записывается как «умножение» или, как мы говорим в математике, «произведение» множителей.
Поэтому мы можем получить \( 12\), умножив \( 2\) на \( 6\).
А \( 6\) в свою очередь можно записать как произведение \( 2\) и \( 3\).
Чтобы проиллюстрировать это, давайте посмотрим на рисунок:
На рисунке мы видим пошаговое разложение на мультипликаторы, а подчеркнутые — это мультипликаторы, которые не подлежат дальнейшему анализу.
То есть, их больше нельзя представить в виде произведения (конечно, мы можем представить каждое из них как один раз само число, но это не принесет нам никакой пользы).
Я обещал, что рисунок все объяснит, но разве не ясно, что \( 12=2\cdot 6\) и \( 6=2\cdot 3\)?
Я и говорю, что это элементарно!
Другими словами: \( 2\cdot 2\cdot 3=12\).
Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?
Здесь \( 2\), снова \( 2\) и \( 3\) — это множители, которые мы разбиваем на части.
Это самый важный момент. Я уже говорил вам — чтобы облегчить вашу жизнь.
Разлагая многочлен, вы упрощаете выражение! В некотором смысле, вы разбиваете большую и сложную проблему на множество маленьких и простых проблем, а затем решаете каждую маленькую проблему отдельно.
Теперь «официальное» определение.
Разложение многочлена на кратные числа — это тождественное преобразование, которое превращает сумму в произведение многих кратных. Каждый фактор может быть либо многочленом, либо синглетоном.
Зачем вам нужно знать все пять возможностей?
Потому что не существует универсального способа, подходящего для всех многочленов.
5 способов разложения многочлена на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки
2. Формулы сокращенного умножения
3. Метод группировки
Давайте рассмотрим каждый из них в отдельности.
Он применяется, когда трансформация не очевидна. Здесь, например, вы можете переместить второй термин в другое место:
4. Выделение полного квадрата
Если объединить термины попарно, то получится следующее:
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
Например, мы можем преобразовать многочлен в форму разности квадратов и применить формулу сокращенного умножения.
Теорема. Если квадратное уравнение \( a^>+bx+c=0\) имеет корни \( _>Квадратичный трином — это многочлен вида<>_>\text
Примеры разложения многочленов на множители
\), мы можем записать его в виде:
Пример 1.1
Существует 8 примеров разложения полинома. Они включают примеры решения квадратных и биквадратных уравнений, примеры полиномиальной регрессии и примеры нахождения целых корней для полиномов третьей и четвертой степени.
Разложите многочлен на множители: x 4 + x 3 — 6 x 2 .
Поместите x 2 за пределами скобок: Решите квадратное уравнение x 2 + x — 6 = 0:. Корни уравнения:, .
Пример 1.2
Это дает разложение многочлена на коэффициенты: .
Разложите многочлен третьей степени на множители: x 3 + 6 x 2 + 9 x .
Поместите x 2 за пределами скобок: Решите квадратное уравнение x 2 + x — 6 = 0:. Корни уравнения:, .
Пример 1.3
Таким образом, мы получаем разложение многочлена на кратные: .
Разложите многочлен пятой степени на множители: x 5 — 2 x 4 + 10 x 3 .
Поставьте x 3 за пределами скобок: Решите квадратное уравнение x 2 — 2 x + 10 = 0. Его дискриминант равен: Поскольку мощность дискриминанта меньше нуля, корни уравнения комплексные: ;, ,, , .
Разложение полинома на коэффициенты происходит следующим образом: .
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Если нас интересует разложение на множители с вещественными коэффициентами, то: .
Разложите двоичный многочлен на множители: x 4 + x 2 — 20 .
Пример 2.2
Примените формулы: a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ; a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ). .
Разложите многочлен, сводящийся к двоичному многочлену: x 8 + x 4 + 1 .
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Примените формулы: a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ; a 2 — b 2 = ( a — b )( a + b ) : ; ; .
Разложите возвратный многочлен на коэффициенты: .
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = — 1. Разделите многочлен на x — (-1) = x + 1. Результат:. Заменить, , ; ; ; ; ; .
Проанализируйте многочлен в кратном виде: .
Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целочисленный корень. Тогда оно является делителем числа 6 (член без x ), т.е. целочисленный корень может быть одним из следующих чисел: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Подставляйте эти значения по одному: (-6) 3 — 6-(-6) 2 + 11-(-6) — 6 = -504 ; (-3) 3 — 6-(-3) 2 + 11-(-3) — 6 = -120 ; (-2) 3 — 6-(-2) 2 + 11-(-2) — 6 = -60 ; (-1) 3 — 6-(-1) 2 + 11-(-1) — 6 = -24 ; 1 3 — 6-1 2 + 11-1 — 6 = 0 ; 2 3 — 6-2 2 + 11-2 — 6 = 0 ; 3 3 — 6-3 2 + 11-3 — 6 = 0 ; 6 3 — 6-6 2 + 11-6 — 6 = 60 .1Таким образом, мы нашли три корня: x2= 1, x3= 2, x
Пример 3.2
Многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = — 1. Разделите многочлен на x — (-1) = x + 1. Результат:. Заменить, , ; ; ; ; ; .
Формула для возведения в квадрат разности двух выражений выглядит следующим образом:
Если мы поменяем местами левую и правую части этой формулы, то получим:
Поскольку правая часть является произведением двух множителей, каждый из которых равен ( a — b ), многочлен вида a 2 — 2 ab + b 2 можно разложить на множители ( a — b ) и ( a — b ).
Пример 1. Разложение многочлена 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2
3. Способ группировки
Для того чтобы применить формулу a 2 — 2 ab + b 2 = ( a — b ) 2, необходимо выяснить, что соответствует переменной a и что соответствует переменной b в данном случае.
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений
Первый член многочлена получается в результате возведения в квадрат монома 3 x, так как (3 x ) 2 = 9 x 2. Третий член 4 y 2 получается в результате возведения в квадрат монома 2 y, так как (2 y ) 2 = 4 y 2, а член 12 xy является произведением членов 3 x и 2 y, то есть 2 × 3 x × 2 y = 12 xy .
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3 x, а переменная b равна 2 y
Из этого следует, что 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2 когда-то напоминал квадратичную разность (3 x — 2 y ) 2, но, применив формулу для квадратичной разности, он становится многочленом 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2. Наша задача — вернуть его в прежний вид, то есть придать ему форму (3 x — 2 y ) 2
Поскольку (3 x — 2 y ) 2 является произведением двух множителей, каждый из которых равен (3 x — 2 y ), исходный многочлен 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2 можно записать как (3 x — 2 y ) и (3 x — 2 y )
Полное решение можно записать следующим образом:
Пример 2: Умножение x 2 — 4 x + 4
Используйте формулу для квадрата разности двух выражений:
Вспомните формулу для куба суммы двух выражений:
Замените левую и правую стороны и получите:
Левая часть этого равенства имеет вид
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, необходимо выяснить, что в данном случае означает переменная a и что означает переменная b.
Первый член полинома получается из куба монома m
Последний член 8 n 3 является результатом кубического разложения монома 2 n
Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений
Второй член 6 m 2 n является произведением квадрата первого члена m и последнего члена 2 n
Третий член 12 mn 2 является тройным произведением первого члена m и квадрата последнего члена 2 n
Это означает, что исходный многочлен m 3 + 6 m 2 n + 12 mn 2 + 8 n 3 соответствует кубу суммы двух выражений. Переменная a в этом многочлене соответствует m, а переменная b соответствует 2 n
Из этого следует, что m 3 + 6 m 2 n + 12 mn 2 + 8 n 3 когда-то напоминал куб суммы ( m + 2 n ) 3, но после применения формулы куба суммы он становится многочленом m 3 + 6 m 2 n + 12 mn 2 + 8 n 3. Наша задача — вернуть ему прежний вид, то есть придать ему форму ( m + 2 n ) 3
Поскольку ( m + 2 n ) 3 является произведением трех коэффициентов, каждый из которых равен ( m + 2 n ), многочлен m 3 + 6 m 2 n + 12 mn 2 + 8 n 3 можно представить как факторизацию ( m + 2 n ), ( m + 2 n ) и ( m + 2 n ).
Пример 2: Факторизация многочлена от 125 x 3 + 75 x 2 + 15 x + 1
Первый член многочлена получается из кубического числа монома 5 x
Последний член 1 является результатом куба монома 1
Второй член 75 x 2 является произведением квадрата первого члена 5 x и последнего члена 1.
Третий член 15 x x является тройным произведением первого члена 5 x и квадрата второго члена 1
Используем формулу a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = ( a + b ) 3. Роль переменной a задается сингулярностью 5 x, а роль переменной b задается сингулярностью 1
Как и в случае с формулой для куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители с помощью формулы для куба разности двух выражений.
Вспомните, как выглядит формула для куба разности двух выражений:
Если поменять местами левую и правую части этой формулы, то получим:
Поскольку правая часть является произведением трех коэффициентов, каждый из которых равен ( a — b ), многочлен вида a 3 — 3 a 2 b + 3 ab 2 — b 3 можно разложить на кратные ( a — b ), ( a — b ) и ( a — b ).
Пример 1. Разложение многочлена 64 — 96 x + 48 x 2 — 8 x 3
Прежде чем использовать формулу куба разности, нам необходимо проанализировать этот многочлен. То есть нам нужно убедиться, что мы действительно рассматриваем куб разности двух выражений.
Чтобы убедиться, что данное выражение является кубом разности двух выражений, нужно выяснить, что в данном случае является переменной a и что является переменной b.
Первый член многочлена дается кубом монома 4
Последний член 8 x 3 i
Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений
Из этого можно сделать вывод, что выражение 64 — 96 x + 48 x 2 — 8 x 3 когда-то напоминало куб разности (4 — 2 x ) 3, но после применения формулы для куба разности теперь является многочленом 64 — 96 x + 48 x 2 — 8 x 3. Наша задача — вернуть его в прежнюю форму, то есть привести к виду (4 — 2 x ) 3
Поскольку (4 — 2 x ) 3 является произведением трех коэффициентов, каждый из которых равен (4 — 2 x ), мы можем представить исходный многочлен 64 — 96 x + 48 x 2 — 8 x 3 в терминах (4 — 2 x ), (4 — 2 x ) и (4 — 2 x ).
Из этого следует, что 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2 когда-то напоминал квадратичную разность (3 x — 2 y ) 2, но, применив формулу для квадратичной разности, он становится многочленом 9 x 2 — 12 xy + 4 y 2. Наша задача — вернуть его в прежний вид, то есть придать ему форму (3 x — 2 y ) 2
Первый член многочлена является результатом кубического разложения монома 3.
Последний член 125 является результатом кубического разложения монома 5 x
Второй член 135 x является произведением квадрата первого члена 3 и последнего члена 5 x.
Третий член 225 x 2 равен утроенному произведению первого члена 3 и квадрата второго члена 5 x
3 × 3 × (5 x ) 2 = 3 × 3 × 25 x 2 = 225 x 2
Используем формулу a 3 — 3 a 2 b + 3 ab 2 — b 3 = ( a — b ) 3. Роль переменной a задается сингулярностью 3, а роль переменной b задается сингулярностью 5 x
Поскольку (3 — 5 x ) 3 является произведением трех коэффициентов, каждый из которых является многочленом (3 — 5 x ), можно доказать, что многочлен 27 — 135 x + 225 x 2 — 125 x 3 является факторизацией (3 — 5 x ), (3 — 5 x ) и (3 — 5 x ).
По сути, извлечение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором триномиал представляется как (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения двумерных уравнений. При разложении многочлена на коэффициенты для получения полной квадратуры используются две формулы:
Например, если вы хотите упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e), вы должны проанализировать числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Поэтому если из многочлена вычесть 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 — 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения на квадрат, мы можем написать: (k2 + 2 e 2 — 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).
Если заменить числитель этим выражением, то можно взаимно сократить его часть со знаменателем. В результате получается простое выражение: h2 + 2 * e2 — 2 * h * e.
При решении различных задач вы можете столкнуться со сложными выражениями, которые, казалось бы, невозможно проанализировать. Например: (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). Числитель дроби содержит квадратичный триномиал, который действительно можно проанализировать. Для простоты он использует формулу: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 — корни выражения.
Чтобы найти решения линейного уравнения, необходимо определить дискриминант
Иногда на решение сложных задач уходит много времени. Всегда существует риск допустить ошибку в расчетах. Чтобы избежать этого или проверить свой ответ, вы можете воспользоваться веб-сайтами, предлагающими онлайн-калькуляторы. Они также могут быть использованы пользователем, который не понимает методов упрощения выражений.
Расчет обычно занимает менее 30 секунд. Существуют различные способы упрощения уравнений. Они написаны на языке Pascal или Javascript, и ошибиться в расчетах невозможно. Часто на этих страницах также содержится информация об упрощении многочленов.
Чтобы получить ответ, нужно с помощью браузера перейти на сайт калькулятора и заполнить указанные там поля. После ввода выражения, которое вы хотите упростить, необходимо нажать кнопку «Вычислить» или «Упростить выражение», чтобы получить ответ с пошаговым решением.
