Скрещивающиеся прямые. Какие прямые называются скрещивающимися?

Дан прямоугольный параллелепипед. Верхняя грань FKLE имеет диагональ FL, нижняя грань ABCD имеет диагональ DB. Найдите расстояние между отрезками FL и DB, если верно, что площадь боковой грани ABKF равна 48 м 2, а ребро AB = 6 м.

Теорема о скрещивающихся прямых в пространстве

При рассмотрении задач в пространстве мы также вводим понятие пересекающихся линий.

Пересекающиеся линии — это линии, которые принадлежат разным плоскостям, но не пересекаются.

Для пересекающихся линий предусмотрено следующее символическое представление: линия (для первой линии) и точка (для второй линии).

Две линии в пространстве образуют угол Θ. Предположим, есть две пересекающиеся прямые b и d. Найдите угол Θ между ними. Постройте точку N на b, проведите через N и проведите d1 параллельно d. Угол, образованный b и d1, и есть искомый угол Θ.

Поскольку d1 всегда параллельна d, точка на b может быть выбрана произвольно. Также можно найти угол Θ, не проводя новую прямую, а двигая прямую d параллельно точке N.

Из определения угла между пересекающимися прямыми можно сделать следующие выводы:

  1. Скрещивающиеся прямые в пространстве, образующие угол 0°, являются параллельными.
  2. Если угол между скрещивающимися прямыми равен 90°, такие прямые являются перпендикулярными.

Признаки скрещивающихся прямых

Рассмотрите точки пересечения прямых и докажите каждую из них.

Первый знак. Две прямые одновременны, если одна из них принадлежит некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.

Доказательство. Жеребьевка по условию. Обозначим прямые b и d, плоскость, в которой лежит b, через c, а точку пересечения d и c через N.

Мы докажем это свойство от обратного. Предположим, что b и d лежат в одной плоскости ϕ. Тогда плоскость ϕ можно построить через b и точку N. Согласно нашей гипотезе, d лежит в ϕ, то есть все точки прямой d должны принадлежать ϕ, а не только N.

Возникает противоречие, выражающееся в том, что прямая d должна пересекать плоскость ϕ и одновременно принадлежать ей. Поэтому предположение о существовании ϕ было ошибочным. Линии b и d не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, т.е. принадлежат пересекающейся плоскости.

Вторая характеристика. Если есть две пересекающиеся прямые, то через любую из них можно построить плоскость, параллельную второй прямой. Такой самолет уникален.

  Параллельные прямые. Какие прямые называются параллельными?

Доказательство. Обозначьте прямые через b и d. Выберите любую точку N на прямой d и проведите через нее прямую f, параллельную b. Согласно теореме о параллельных прямых, прямая, параллельная данной прямой, может проходить через точку, не лежащую на прямой, и такая прямая единственна.

Теперь построим плоскость ϕ над двумя пересекающимися прямыми f и b. По свойству прямой и плоскости в пространстве, d параллельна ϕ, так как f||d.

Мы хотим доказать, что плоскость ϕ является единственной i

Теорема о скрещивающихся прямых в пространстве

Доказательство. Пусть есть две прямые b и d, лежащие в плоскостях γ и ϕ соответственно. Проведите через точку M на прямой b прямую f||d. Постройте через прямые f и d плоскость ω. Две параллельные прямые f и d соединены отрезком MN, лежащим на ω.

MN перпендикулярна f и d, поэтому она является общим перпендикуляром к плоскостям c и ϕ и к прямым b и d.

Мы хотим доказать, что перпендикуляр MN является единственным. Предположим, что существует еще один перпендикуляр к прямой d. Выберите точку K на прямой b и постройте прямую j||d. Отрезок KL перпендикулярен к γ и ϕ, поэтому MN||||KL. Тогда можно построить плоскость ω1 через MN и KL. Тогда точки M, K и N, L принадлежат ω1. Тогда b и d также должны принадлежать ω1, что невозможно по условию.

Если одна из прямых принадлежит плоскости, а другая пересекает эту плоскость из точки, отличной от первой прямой, то эти две прямые одновременны.

Две параллельные плоскости могут быть проведены двумя пересекающимися прямыми (единичными прямыми).

Расстояние между пересекающимися линиями — это расстояние между этими плоскостями.

Признак скрещивающихся прямых

Угол между двумя пересекающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых параллельна данной пересекающейся прямой.

неп

(Вполне может быть, что одна из прямых не параллельна самой себе, но только одна из прямых параллельна своему пересечению с другой).

Чтобы не потерять страницу, вы можете сохранить ее для себя:

Угол между скрещивающимися прямыми

В планетометрии существует понятие выпрямленных лучей. Предположим, что есть два луча O.

  Что называется осевой симметрией. Что такое ось симметрии?

А и О

угол между скрещивающимися прямыми

В. Проведите линию O

Сонаправленные лучи

. Как и любая линия, плоскость делится на две полуплоскости. Таким образом, радиусы O1А и О2Чтобы считаться коаксиальным, должны быть выполнены два условия:1О21) Они должны лежать в одной полуплоскости,1А и О2Здесь мы рассмотрели случай, когда лучи O

А и О

B находятся на разных линиях. Особый случай возможен, если они находятся на прямой линии. В таком случае для выпрямления лучей достаточно, чтобы один из них полностью лежал на другом:

7 skreshchivayushchiesya pryamye

Рассмотрим теорему для выпрямленных лучей, которая справедлива не только в планетометрии, но и в стереометрии.1А и О2и О

8 skreshchivayushchiesya pryamye

стороны которого попарно конгруэнтны. На паре лучей мы отмечаем точки A

9 skreshchivayushchiesya pryamye

и А1так, чтобы сегменты O2и О1равны. На другой паре лучей таким же образом отметьте точки B2и Б1А1так, чтобы сегменты O2А2и О1Обратите внимание, что радиусы O2и О1В1так, чтобы сегменты O2В2:

10 skreshchivayushchiesya pryamye

— является плоским четырехугольником. Сегменты O1А1так, чтобы сегменты O2А2параллельны и идентичны. Это означает, что O1А1А2О2— параллельно и параллельно.1А1так, чтобы сегменты O2А2и п1А1А2О2такой, что m1В1В2О2||m и n

||n. Угол между m1А2Обратите внимание, что радиусы O1В2в точности равен углу между пересекающимися прямыми m и n:1А2В2В1Возникает вопрос, зависит ли величина измеренного таким образом угла от выбранной точки K. Оказывается, что это не зависит, и это можно доказать. Выберем любые две точки K1В1равны. На другой паре лучей таким же образом отметьте точки B2В2. Через К1А1В1, проведите линии n2А2В2и м1А1В1, проведите линии n2А2В2, нарисовать n1О1В1и м2О2В2которые параллельны исходным прямым m и n соответственно.

Угол между прямыми

Поскольку n

12 skreshchivayushchiesya pryamye

||n и n1||n, по свойству транзитивности параллелизма и n1. Аналогично, при m1. Оказывается, что стороны углов в точках K1и K1||n, по свойству транзитивности параллелизма и n1Теоретический материал закончен, теперь вам остается научиться применять полученные знания. Попробуйте решить каждую проблему самостоятельно, прежде чем обращаться к решению.

  Что такое отрезок. Объясните что такое отрезок?

13 skreshchivayushchiesya pryamye

Задание. Точка D лежит вне прямой ∆ABC. Средние значения сегментов A D, BD и C D обозначены как M, N и P соответственно. Точка K лежит на отрезке BN (и не совпадает с концами этого отрезка). Определите положение линий по отношению друг к другу:1Решение. Сначала важно нарисовать правильную форму в соответствии с описанием проблемы:2Теперь каждый пункт можно рассмотреть отдельно.1(a) AB и DN. Линия DN совпадает с линией BD. Она, в свою очередь, пересекает AB в точке B. Поэтому в данном случае линии пересекаются.1(b) РК и БК. Рассмотрим плоскость треугольника ∆BCD. Рассматриваемые линии лежат точно в этой плоскости. То есть, они определенно не пересекаются. Могут ли они быть параллельными? Рассмотрим отрезок NP. Это средняя строка в ∆BCD, т.е. NP||BC. Через P может проходить только прямая, параллельная BC (по аксиоме параллельности), и это NP. Тогда KP пересекает BC.1c) MN и AB. В ∆BDMN — это центральная линия, поэтому MN||B.2г) MR и AC. MR — средняя линия в ∆ACD, поэтому MR||||AC.2(b) РК и БК. Рассмотрим плоскость треугольника ∆BCD. Рассматриваемые линии лежат точно в этой плоскости. То есть, они определенно не пересекаются. Могут ли они быть параллельными? Рассмотрим отрезок NP. Это средняя строка в ∆BCD, т.е. NP||BC. Через P может проходить только прямая, параллельная BC (по аксиоме параллельности), и это NP. Тогда KP пересекает BC.2f) MD и BC. MD пересекает AC в точке A. Из знаков пересекающихся прямых следует, что MD и DC пересекаются.

14 skreshchivayushchiesya pryamye

Проблема. В точке P, которая не лежит на прямой m, есть две разные прямые, которые не пересекаются с m. Верно ли, что хотя бы один из них точно пересекает m?1Решение. Ни одна из двух прямых не пересекает m. Тогда они либо параллельны m, либо пересекают m. Но две прямые, параллельные m, не могут быть параллельны m, потому что тогда две прямые, параллельные m, одновременно проходят через P,21||n21||m21Решение. Сначала важно нарисовать правильную форму в соответствии с описанием проблемы:2

Задачи на скрещивающиеся прямые

15 skreshchivayushchiesya pryamye

16 skreshchivayushchiesya pryamye

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий