Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК). Что такое координатные векторы?

Решение. Во всех случаях мы будем просто перемещать векторы в начало координат и брать радиус вектора. Тогда мы просто посмотрим на координаты конца радиус-вектора. Мы начинаем с :

Векторы: основные понятия. Координаты вектора. Длина вектора

Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет легче понять, если мы рассмотрим различия между скалярными и векторными величинами.

В таблице ниже «не-векторы» — это скалярные величины или просто скалярные величины, а «векторы» — векторные величины.

Невекторы Организации
Масса Гравитация
Длина Путь
Время Ускорение
Плотность Давление
Температура Скорость
Группа
Регион
Векторная единица

Векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

Вектор обязательно проходит из точки A по прямой в точку B. Численное значение вектора — это длина, а физическое и геометрическое значение — направление. Отсюда следует первое, более простое определение вектора. Таким образом, вектор — это направленный отрезок, ведущий из точки A в точку B и обозначаемый через .

И чтобы начать различные операции с векторами, нам необходимо ознакомиться с еще одним определением вектора.

Вектор — это способ представления точки, которую можно достичь из определенной начальной точки. Например, трехмерный вектор обычно записывается в виде ( x, y, z ). Проще говоря, эти цифры показывают, какое расстояние нужно проехать в трех разных направлениях, чтобы достичь точки.

Давайте зададим вектор. В данном случае x = 3 (правая рука указывает вправо), y = 1 (левая рука указывает вперед), z = 5 (под точкой находится лестница, ведущая вверх). Согласно этому, вы находите точку, пройдя 3 метра в направлении, на которое указывает правая рука, затем 1 метр в направлении, на которое указывает левая рука, а затем вас ждет лестница, и если вы подниметесь на 5 метров, то, наконец, достигнете конечной точки.

Все остальные термины являются уточнениями вышеприведенного объяснения, которые необходимы для различных операций с векторами, то есть для решения практических задач. Давайте рассмотрим эти более строгие определения, остановившись на формальных векторных задачах.

Физическими примерами векторных величин являются смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки и сила, действующая на нее.

Геометрический вектор представлен в двух- и трехмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это раздел с началом и концом.

Если A — начало, а B — конец вектора, то вектор обозначается символом или простой строчной буквой. На рисунке конец вектора обозначается стрелкой (рис. 1).

Длина (или единица) геометрического вектора — это длина отрезка, который его создает.

Два вектора считаются равными, если они могут быть выровнены.

С любой точкой M в пространстве мы связываем вектор

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

строительный вектор a точки M и спроецировать его на каждую из координатных осей. Обозначим значения соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки M, то есть абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются как упорядоченные точечные числа: M (x; y; z) (рис. 6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называется единичным вектором (или ортогональным вектором) оси. Обозначим через

Аналогично, порядки координатных осей: Ox, Oy, Oz

Теорема. Каждый вектор может быть проанализирован в терминах координатных осей:

Уравнение (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора на координатные оси. Поэтому коэффициенты разложения (2) вектора по координатным осям являются координатами вектора.

  Примеры разложения многочленов на множители. Как разложить на множители?

Поскольку вектор и тройка его координат однозначно определены в пространстве, вектор можно записать в следующей форме.

Векторные представления формы (2) и (3) идентичны.

Векторы считаются коллинеарными, если они связаны следующим соотношением.

Пусть векторы будут. Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны друг с другом следующим образом.

Условие коллинеарности векторов в координатах

То есть координаты векторов пропорциональны.

Пример 1. Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Найдите отношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, то есть векторы коллинеарны или, что одно и то же, параллельны.

Векторы

i → и j →

Координатные векторы

называются координатными векторами для данной системы координат.Мы выводим любой вектор a → из начала координат. Согласно геометрическому определению операций над векторами, вектор a → можно представить в виде a → = a x — i → + a y — j →, где коэффициентами являютсяи

— уникальны, их уникальность можно легко доказать обратным методом.a xРазложение вектораa ya →

Разложение вектора

с векторами координатi → и j →в плоскостиМы выводим любой вектор a → из начала координат. Согласно геометрическому определению операций над векторами, вектор a → можно представить в виде a → = a x — i → + a y — j →, где коэффициентами являютсяКоэффициенты a x и a yназываются координатами вектора в соответствующей системе координат на плоскости.

Принято записывать координаты вектора в этой системе координат в скобках через запятую, при этом указанные координаты отделяются от векторного обозначения знаком равенства. Например, обозначение a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → в данной системе координат имеет координаты ( 2 ; — 3 ) и может быть представлен как продолжение координатных векторов i → и j → в виде a → = 2 — i → — 3 — j →.Обратите внимание, что порядок записи координат важен

Для прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве все точки, упомянутые выше, могут быть определены аналогичным образом. В этой системе координат есть три координатных вектора i →, j →, k →, и любой вектор a → расширяется не по двум, а по трем координатам и имеет вид a → = a x — i → + a y — j → + a z — k →, а коэффициенты этого расширения ( a x ; a y ; a z ) называются

координаты вектора в заданной (трехмерной) системе координат.

Поэтому векторы координат в трехмерном пространстве также принимают значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ; 0 ), j → = ( 0 ; 1 ; 0 ), k → = ( 0 ; 0 ; 1 ), координаты нулевого вектора также нулевые 0 → = ( 0 ; 0 ; 1 ), координаты нулевого вектора также нулевые 0 → = ( 0 ; 0, 0, 0 ), и в этом случае два вектора считаются равными, если все три соответствующие координаты вектора между ними равны a → = b → ⇔ a x = b x, a y = b y, a z = b z, а координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a →, т.е. т.е. — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .

Из уроков алгебры мы знаем прямоугольную систему координат. Она имеет оси O и O, и каждая точка, отмеченная на плоскости, имеет свои координаты:

Равные и противоположные векторы

Конечно, мы также можем отмечать векторы в координатной плоскости. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину 1 и направления которых соответствуют направлениям координатных осей. Вектор на оси О обозначается i, а вектор на оси О — j.Эти векторы называются единичными векторами или ортонами (также используется термин координатный вектор). Они неколлинеарны, что означает, что любой вектор на плоскости может быть разложен на единичные векторы. Коэффициенты такого разложения — это просто координаты вектора.

  Делители и кратные натуральных чисел: НОД и НОК. Что такое кратное число?

Давайте на примере найдем координаты вектора. Предположим, у нас есть вектор a :Нам нужно разложить a на векторы i и j. Для этого нам нужно посмотреть на него с определенной точки. Удобно переместить вектор a в начало координат:

Теперь нужно провести прямые, параллельные векторам i и j через конец a. В результате получится прямоугольник ABCD:

Мы можем записать равенство:Поэтому координатами этого вектора являются числа 3 и 2. Он записывается следующим образом:

Обратите внимание, что порядок цифр в скобках имеет существенное значение. Первое число — это коэффициент разложения перед вектором i. Эту координату можно назвать координатой x (по аналогии с координатами точки). Второе число — это коэффициент вектора j, который является координатой y. Отметим также очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

Координаты векторов

На сайте

22 metod koordinat

Это обозначение означает, что c имеет координаты 1

23 metod koordinat

. Поэтому мы можем сформулировать правило сложения векторов:

24 metod koordinat

Поясним это правило на примере. Добавим векторы a и b. Понятно, что результатом будет новый вектор, который мы обозначим через c. Чтобы найти его первую координату, сложим первые координаты векторов a и b :

25 metod koordinat

Чтобы найти его вторую координату, мы складываем вторые координаты соответствующих векторов:

26 metod koordinat

В результате получается вектор с .

27 metod koordinat

Задача. Добавьте векторы, имеющие координаты:

28 metod koordinat

Решение. Сначала просто сложите простые числа в скобках (и получите координату x ), затем сложите вторые числа (и получите координату y ):

Теперь давайте попробуем понять, как вычисляется разница между двумя векторами. Предположим, что у нас есть векторы с заданными координатами a 1

и b 2

30 metod koordinat

. Давайте снова запишем их эволюцию в единичных векторах:

31 metod koordinat

Теперь мы можем сформулировать правило для вычитания векторов:

Сложение и вычитание векторов

Например, вычтем вектор b из вектора a. Искомая разность — это вектор, координата x которого равна разности простых координат векторов a и b:; у1>Аналогично вычисляем координату y:; у2>В результате мы имеем вектор с координатами .

42 metod koordinat

Задача. Вычтите вектор b из вектора a, если их координаты известны:+ х2; у1+ у2>Решение. Во всех случаях сначала вычтите первую координату вектора a из первой координаты вектора b, чтобы получить координату x искомого вектора. Затем повторите операцию со второй координатой (т.е. y):

43 metod koordinat

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Опять же, вектор a с координатами x

и y

можно разложить на коэффициенты следующим образом:

Напомним, что если два вектора (назовем их a и b) коллинеарны, то обязательно существует число k такое, что

44 metod koordinat

Из равенства (1) и правила умножения вектора на число, описанного выше, вытекают два соотношения между этими координатами:

45 metod koordinat

Если числа x; у1>Аналогично вычисляем координату y:; у2>не равны нулю, то из каждого уравнения можно выразить число k, тогда выражения можно приравнять:

46 metod koordinat

Получаем соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратном направлении — если координаты векторов удовлетворяют производной, то можно смело утверждать, что векторы слиплись.

47 metod koordinat

Примечание. Фраза «тогда и только тогда» означает, что правило работает в обе стороны — из пропорциональности координат следует конгруэнтность векторов, а из конгруэнтности векторов следует пропорциональность координат.

может быть любым числом, так как всегда можно найти такое число k, для которого выполняется условие

  Как найти наименьшее общее кратное, НОК для двух и более чисел. Как найти наименьшее общее кратное?

Например, если у нас есть вектор. Можно сказать, что он коллинеарен с любым вектором, первая координата которого также равна нулю, а именно,

Но любой вектор, чья x-координата НЕ равна нулю, НЕ коллинеарен с. В частности, он не является коллинеарным с вектором:

48 metod koordinat

Та же логика применима, если не x-координата, а y-координата равна нулю.

49 metod koordinat

Если обе координаты вектора равны нулю, то это нулевой вектор, т.е. точка. Следует помнить, что такой вектор коллинеарен с любым другим вектором.1Задание. Определите, являются ли два вектора коллинеарными, если их координаты равны:1Действия с векторами описываются как в алгебре, так и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим, как складывать и вычитать векторы, не зная их координат.

Признак коллинеарности векторов

Представьте, что у нас есть векторы в пространстве и нам нужно их сложить. Эта проблема особенно важна для физиков, поскольку векторные величины, такие как сила, часто прикладываются к одному и тому же телу. Возникает вопрос: как рассчитать результирующий эффект всех этих сил?

54 metod koordinat

Вот где математика, царица наук, приходит на помощь физикам! Чтобы сложить два вектора, нужно сделать следующее:

Складывать векторы можно и другим способом, используя метод параллелограмма:2Задание. Определите, являются ли два вектора коллинеарными, если их координаты равны:2И метод параллелограмма, и метод треугольника предполагают перемещение векторов в пространстве: либо объединение их концов, либо переход от конца одного вектора к началу другого. Извлечение суммы векторов, не имеющих общей точки, невозможно с помощью этих методов.

Но что если векторов больше двух? В математике уже есть решение этой проблемы: мы используем метод расширенных треугольников, так называемый «метод многоугольников».

56 metod koordinat

В этом методе мы объединяем конец и начало векторов один за другим, а затем представляем кумулятивный вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. Лучше всего это видно на рисунке:

Мы продолжаем выполнять различные действия с векторами, на этот раз путем вычитания. Математики знают, что вычитание — это то же самое, что и сложение, только с обратным числом.

То же самое справедливо и для векторов: Вместо вычитания мы можем добавить вектор, противоположный исходному вектору:

Представим разность векторов с помощью уже известного нам правила треугольника:

Вы боитесь запутаться в односторонних и противоположных векторах? Существует отдельное правило для афиры

>1; у2>

2Задание. Определите, являются ли два вектора коллинеарными, если их координаты равны:1

62 metod koordinat

Сложение и вычитание векторов

Сложение: метод треугольника

  1. Отложить начало одного вектора от конца другого.
  2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором, который соединяет начало вектора с концом вектора

Сложение векторов методом треугольника

Сложение: метод параллелограмма

Сложение векторов методом параллелограмма

  1. Совместим между собой концы и
  2. Отложим от конца вектор, равный
  3. Отложим от конца вектор, равный
  4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).
  5. Проведём диагональ параллелограмма между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Сложение: метод многоугольника

Сложение векторов методом многоугольника

Вычитание векторов

Вычитание векторов. Рисунок 1

  1. Отложим один вектор от начала другого.
  2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом уменьшаемого.

Вычитание векторов. Рисунок 2

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Базисные векторы

Умножение вектора на число

Оцените статью
Дорога Знаний
Добавить комментарий